Која е границата на функцијата

Во оваа публикација ќе разгледаме еден од главните концепти на математичката анализа - границата на функцијата: нејзината дефиниција, како и различни решенија со практични примери.

Одредување на граница на функција

Ограничување на функцијата – вредноста кон која тежи вредноста на оваа функција кога нејзиниот аргумент се стреми кон ограничувачката точка.

Ограничување запис:

• границата е означена со иконата лим;
• под него се додава кон која вредност тежне аргументот (променливата) на функцијата. Обично ова x, но не мора, на пример:x→ 1″;
• тогаш самата функција се додава десно, на пример:

  

Така, конечниот рекорд на лимитот изгледа вака (во нашиот случај):

Чита како „Граница на функцијата бидејќи x се стреми кон единство“.

x→ 1 - тоа значи дека „x“ постојано презема вредности што бесконечно се приближуваат до единството, но никогаш нема да се совпаднат со него (нема да се достигне).

Ограничувања на одлуки

Со даден број

Ајде да ја решиме горната граница. За да го направите ова, едноставно заменете ја единицата во функцијата (бидејќи x→1):

Така, за да ја решиме границата, прво се обидуваме едноставно да го замениме дадениот број во функцијата под него (ако x се стреми кон одреден број).

Со бесконечност

Во овој случај, аргументот на функцијата се зголемува бесконечно, т.е. „Х“ се стреми кон бесконечност (∞). На пример:

If x→∞, тогаш дадената функција се стреми кон минус бесконечност (-∞), бидејќи:

• 3 - 1 = 2
• 3 – 10 = -7
• 3 – 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 итн.

Друг покомплексен пример

За да се реши оваа граница, исто така, едноставно зголемете ги вредностите x и погледнете го „однесувањето“ на функцијата во овој случај.

• RџSЂRё x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџSЂRё x = 10, y = 10² + 3 · 10 - 6 = 124
• RџSЂRё x = 100, y = 100² + 3 · 100 - 6 = 10294

Така, за „Х“тежнее кон бесконечноста, функцијата x² +3x -6 расте на неодредено време.

Со несигурност (x се стреми кон бесконечност)

Во овој случај, зборуваме за граници, кога функцијата е дропка, чиј броител и именител се полиноми. При што „Х“ се стреми кон бесконечноста.

Пример: да ја пресметаме границата подолу.

Решение

Изразите и во броителот и во именителот тежнеат кон бесконечност. Може да се претпостави дека во овој случај решението ќе биде како што следува:

Сепак, не се толку едноставно. За да го решиме лимитот, треба да го направиме следново:

1. Пронајди x до највисоката моќност за броителот (во нашиот случај, тоа е два).

2. Слично, дефинираме x до највисоката моќност за именителот (исто така е еднакво на два).

3. Сега ги делиме и броителот и именителот со x во повисок степен. Во нашиот случај, и во двата случаи – во вториот, но ако беа различни, треба да го земеме највисокиот степен.

4. Во добиениот резултат, сите дропки имаат тенденција на нула, затоа одговорот е 1/2.

Со несигурност (x се стреми кон одреден број)

И броителот и именителот се полиноми, сепак, „Х“ се стреми кон одреден број, а не кон бесконечност.

Во овој случај, ние условно ги затвораме очите пред фактот дека именителот е нула.

Пример: Ајде да ја најдеме границата на функцијата подолу.

Решение

1. Прво, да го замениме бројот 1 во функцијата, на која „Х“. Ја добиваме неизвесноста на формата што ја разгледуваме.

2. Следно, ги разложуваме броителот и именителот на фактори. За да го направите ова, можете да ги користите скратените формули за множење, доколку се соодветни, или.

Во нашиот случај, корените на изразот во броителот (2x² – 5x + 3 = 0) се броевите 1 и 1,5. Затоа, може да се претстави како: 2 (x-1) (x-1,5).

именителот (x–1) првично е едноставно.

3. Добиваме таква изменета граница:

4. Дропката може да се намали за (x–1):

5. Останува само да се замени бројот 1 во изразот добиен под границата: