Извлекување на корен од комплексен број

Во оваа публикација, ќе погледнеме како можете да го земете коренот на комплексен број, а исто така и како тоа може да помогне во решавањето на квадратни равенки чија дискриминација е помала од нула.

Извлекување на корен од комплексен број

Квадратен корен

Како што знаеме, невозможно е да се земе коренот на негативен реален број. Но, кога станува збор за сложени броеви, ова дејство може да се изврши. Ајде да го сфатиме.

Да речеме дека имаме број z = -9. За √-9 има два корени:

z₁ = √-9 = -3i

z₁ = √-9 = 3i

Да ги провериме добиените резултати со решавање на равенката z² =-9, не заборавајќи го тоа i² =-1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ јас² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ јас² = 9 ⋅ (-1) = -9

Така, ние го докажавме тоа -3i и 3i се корени √-9.

Коренот на негативен број обично се пишува вака:

√-1 = ±i

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i итн

Корен на моќта на n

Да претпоставиме дека ни се дадени равенки на формата z = ⁿ√w… Тоа има n корени (z₀или₁или₂,…, з_n-1), што може да се пресмета со помош на формулата подолу:

|w| е модул на комплексен број w;

φ – неговиот аргумент

k е параметар кој ги зема вредностите: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Квадратни равенки со сложени корени

Извлекувањето на коренот на негативен број ја менува вообичаената идеја за uXNUMXbuXNUMXb. Ако дискриминаторот (D) е помала од нула, тогаш не може да има вистински корени, но тие можат да бидат претставени како сложени броеви.

пример

Да ја решиме равенката x² – 8x + 20 = 0.

Решение

a = 1, b = -8, c = 20

D = b² – 4ac = 64 – 80 = -16

D <0, но сепак можеме да го земеме коренот на негативната дискриминаторка:

√D = √-16 = ±4i

Сега можеме да ги пресметаме корените:

x_1,2 = (-b ± √D)/2а = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Затоа, равенката x² – 8x + 20 = 0 има два сложени конјугирани корени:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i