Подигнување на комплексен број до природна моќност

Во оваа публикација, ќе разгледаме како комплексен број може да се подигне до моќ (вклучувајќи ја и употребата на формулата Де Моивр). Теоретскиот материјал е проследен со примери за подобро разбирање.

Подигнување на комплексен број до моќност

Прво, запомнете дека сложениот број има општ облик: z = a + bi (алгебарска форма).

Сега можеме да продолжиме директно до решавање на проблемот.

Квадратен број

Можеме да го претставиме степенот како производ на истите фактори, а потоа да го најдеме нивниот производ (додека се сеќаваме на тоа i² =-1).

z² = (а + би)² = (а + би) (а + би)

Пример 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Можете исто така да го користите, имено квадратот на збирот:

z² = (а + би)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

Забелешка: На ист начин, доколку е потребно, може да се добијат формули за квадратот на разликата, коцката на збирот / разликата итн.

N-ти степен

Подигнете комплексен број z во вид n многу полесно ако е претставен во тригонометриска форма.

Потсетете се дека, генерално, ознаката на број изгледа вака: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

За експоненцијација, можете да користите Формулата на Де Мојвр (така именуван по англискиот математичар Абрахам де Моивр):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

Формулата се добива со пишување во тригонометриска форма (модулите се множат, а аргументите се додаваат).

Пример 2

Подигнете комплексен број z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) до осми степен.

Решение

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).