содржина
Во оваа публикација ќе ја разгледаме дефиницијата за рангот на матрицата, како и методите со кои може да се најде. Ќе анализираме и примери за да ја покажеме примената на теоријата во пракса.
Одредување на ранг на матрица
Ранг на матрица е ранг на неговиот систем на редови или колони. Секоја матрица има свои редови и колони, кои се еднакви еден на друг.
Ранг на системот на редови е максималниот број на линеарно независни редови. На сличен начин се одредува рангот на системот на колоните.
Забелешки:
- Рангот на нултата матрица (означен со симболот „θ„) од која било големина е нула.
- Рангот на кој било вектор на ред или колона не е еднаков на еден.
- Ако матрицата со која било големина содржи барем еден елемент кој не е еднаков на нула, тогаш нејзиниот ранг не е помал од еден.
- Рангот на матрицата не е поголем од нејзината минимална димензија.
- Елементарните трансформации извршени на матрица не го менуваат нејзиниот ранг.
Наоѓање на ранг на матрица
Мала метода на реси
Рангот на матрицата е еднаков на максималниот редослед на ненула.
Алгоритмот е како што следува: најдете ги малолетниците од најниските нарачки до највисоките. Доколку е малолетно nредот не е еднаков на нула, и сите последователни (n+1) се еднакви на 0, така што рангот на матрицата е n.
пример
За да биде појасно, да земеме практичен пример и да го најдеме рангот на матрицата A подолу, користејќи го методот на граничи со малолетници.
Решение
Имаме работа со матрица 4 × 4, затоа нејзиниот ранг не може да биде поголем од 4. Исто така, во матрицата има елементи што не се нула, што значи дека нејзиниот ранг не е помал од еден. Значи, да започнеме:
1. Започнете со проверка малолетни лица од втор ред. За почеток, земаме два реда од првата и втората колона.
Мало е еднакво на нула.
Затоа, преминуваме на следниот минор (останува првата колона, а наместо втората ја земаме третата).
Малиот е 54≠0, така што рангот на матрицата е најмалку два.
Забелешка: Ако овој минор испадне дека е еднаков на нула, дополнително ќе ги провериме следните комбинации:
Доколку е потребно, набројувањето може да се продолжи на ист начин со жици:
- 1 и 3;
- 1 и 4;
- 2 и 3;
- 2 и 4;
- 3 и 4.
Ако сите минори од втор ред беа еднакви на нула, тогаш рангот на матрицата ќе биде еднаков на еден.
2. Речиси веднаш успеавме да најдеме малолетно лице кое ни одговара. Па да продолжиме на малолетни лица од трет ред.
На пронајдениот минор од вториот ред, кој даде резултат не нула, додаваме еден ред и една од колоните означени со зелено (почнуваме од втората).
Се покажа дека малолетникот е нула.
Затоа, ја менуваме втората колона во четврта. И при вториот обид успеваме да најдеме минор кој не е еднаков на нула, што значи дека рангот на матрицата не може да биде помал од 3.
Забелешка: ако резултатот повторно испадне нула, наместо вториот ред, ќе го однесеме четвртиот понатаму и ќе продолжиме со потрагата по „добра“ малолетничка.
3. Сега останува да се утврди малолетници од четврти ред врз основа на она што беше откриено претходно. Во овој случај, таа се совпаѓа со детерминантата на матрицата.
Мало е еднакво на 144≠0. Ова значи дека рангот на матрицата A е еднакво на 4.
Намалување на матрица во скалеста форма
Рангот на матрицата на чекори е еднаков на бројот на нејзините редови што не се нула. Односно, сè што треба да направиме е да ја доведеме матрицата во соодветната форма, на пример, со користење на , што, како што споменавме погоре, не го менува својот ранг.
пример
Најдете го ранг на матрица B подолу. Не земаме премногу сложен пример, бидејќи нашата главна цел е едноставно да ја покажеме примената на методот во пракса.
Решение
1. Прво, од вториот ред одземете го удвоениот прво.
2. Сега одземете го првиот ред од третиот ред, помножен со четири.
Така, добивме матрица на чекори во која бројот на редови без нула е еднаков на два, па затоа нејзиниот ранг е исто така еднаков на 2.