Малата теорема на Ферма

Во оваа публикација, ќе разгледаме една од главните теореми во теоријата на цели броеви -  Малата теорема на Фермаименуван по францускиот математичар Пјер де Ферма. Ќе анализираме и пример за решавање на проблемот за да го консолидираме презентираниот материјал.

Изјава на теоремата

1. Почетна

If p е прост број a е цел број што не се дели со pпотоа a^стр-1 - 1 поделено со p.

Официјално е напишано вака: a^стр-1 1 (против p).

Забелешка: Прост број е природен број кој е делив само со XNUMX и самиот без остаток.

На пример:

• a = 2
• p = 5
• a^стр-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• број 15 поделено со 5 без остаток.

2. Алтернатива

If p е прост број, a тогаш кој било цел број a^p споредливо со a modulo p.

a^p ≡ а (против p)

Историја на пронаоѓање докази

Пјер де Ферма ја формулирал теоремата во 1640 година, но самиот не ја докажал. Подоцна, тоа го направил Готфрид Вилхелм Лајбниц, германски филозоф, логичар, математичар итн. Се верува дека тој веќе го имал доказот до 1683 година, иако никогаш не бил објавен. Вреди да се одбележи дека Лајбниц сам ја открил теоремата, не знаејќи дека таа веќе била формулирана порано.

Првиот доказ за теоремата е објавен во 1736 година, а му припаѓа на Швајцарецот, Германецот и математичарот и механичар Леонхард Ојлер. Малата теорема на Ферма е посебен случај на Ојлеровата теорема.

Пример за проблем

Најдете го остатокот од бројот 2¹² on 12.

Решение

Ајде да замислиме бројка 2¹² as 2-2¹¹.

11 е прост број, затоа, со малата теорема на Ферма добиваме:

2¹¹ 2 (против 11).

Оттука, 2-2¹¹ 4 (против 11).

Значи бројот 2¹² поделено со 12 со остаток еднаков на 4.