Гаусовиот метод за SLAE решение

Во оваа публикација, ќе разгледаме што е Гаусовиот метод, зошто е потребен и кој е неговиот принцип. Исто така, со практичен пример ќе покажеме како методот може да се примени за решавање на систем од линеарни равенки.

Опис на методот Гаус

Гаусовиот метод е класичен метод на секвенцијална елиминација на променливите што се користи за решавање. Името го добила по германскиот математичар Карл Фридрих Гаус (1777-1885).

Но, прво, да се потсетиме дека SLAU може:

• има едно единствено решение;
• имаат бесконечен број решенија;
• да бидат некомпатибилни, односно да немаат решенија.

Практични придобивки

Гаусовиот метод е одличен начин да се реши SLAE што вклучува повеќе од три линеарни равенки, како и системи кои не се квадратни.

Принцип на методот Гаус

Методот ги вклучува следните чекори:

1. директно – зголемената матрица што одговара на системот на равенки, патем над редовите се сведува на горната триаголна (скалеста) форма, односно под главната дијагонала треба да има само елементи еднакви на нула.
2. назад – во добиената матрица, елементите над главната дијагонала се исто така поставени на нула (долен триаголен приказ).

Пример за решение SLAE

Да го решиме системот на линеарни равенки подолу користејќи го методот Гаус.

Решение

1. За почеток, го прикажуваме SLAE во форма на проширена матрица.

2. Сега нашата задача е да ги ресетираме сите елементи под главната дијагонала. Понатамошните активности зависат од конкретната матрица, подолу ќе ги опишеме оние што се однесуваат на нашиот случај. Прво, ги заменуваме редовите, со што ги поставуваме нивните први елементи во растечки редослед.

3. Од вториот ред одземете го двапати првиот, а од третиот – тројно првиот.

4. Додадете ја втората линија во третата линија.

5. Од првиот ред одземете го вториот ред, а во исто време третиот ред поделете го со -10.

6. Првата фаза е завршена. Сега треба да ги добиеме нултите елементи над главната дијагонала. За да го направите ова, од првиот ред одземете го третиот помножен со 7, а на вториот додадете го третиот помножен со 5.

7. Конечната проширена матрица изгледа вака:

8. Тоа одговара на системот на равенки:

Одговор: корен SLAU: x = 2, y = 3, z = 1.