Систем на линеарни алгебарски равенки

Во оваа публикација, ќе ја разгледаме дефиницијата за систем на линеарни алгебарски равенки (SLAE), како изгледа, какви видови постојат, а исто така и како да го претставиме во форма на матрица, вклучително и проширена.

Дефиниција на систем од линеарни равенки

Систем на линеарни алгебарски равенки (или „SLAU“ накратко) е систем кој генерално изгледа вака:

• m е бројот на равенки;
• n е бројот на променливи.
• x₁, x₂,…, x_n – непознато;
• a₁₁,₁₂…, а_mn – коефициенти за непознати;
• b₁, Б.₂,…, б_m – бесплатни членови.

Коефициентни индекси (a_ij) се формираат на следниов начин:

• i е бројот на линеарната равенка;
• j е бројот на променливата на која се однесува коефициентот.

SLAU решение – такви бројки c₁, C₂,…, в_n , во чие поставување наместо x₁, x₂,…, x_n, сите равенки на системот ќе се претворат во идентитети.

Видови SLAU

1. Хомогена - сите слободни членови на системот се еднакви на нула (b₁ = б₂ = … = б_m = 0).

   

2. Хетерогена – доколку не е исполнет условот погоре.
3. Плоштад – бројот на равенките е еднаков на бројот на непознати, т.е m = n.

   

4. Неодредено – бројот на непознати е поголем од бројот на равенките.

   

5. надминат Има повеќе равенки отколку променливи.

   

Во зависност од бројот на решенија, SLAE може да биде:

1. Заеднички има барем едно решение. Згора на тоа, ако е единствен, системот се нарекува дефинитивен, ако има неколку решенија, се нарекува неопределен.

   

   SLAE погоре е заеднички, бидејќи има барем едно решение: x = 2, y = 3.

2. некомпатибилни Системот нема решенија.

   

   Десните страни на равенките се исти, но левите не се. Така, нема решенија.

Матрична нотација на системот

SLAE може да се претстави во форма на матрица:

AX = Б

• A е матрицата формирана од коефициентите на непознатите:

  

• X – колона на променливи:

  

• B – колона со слободни членови:

  

пример

Ние го претставуваме системот на равенки подолу во форма на матрица:

Користејќи ги горенаведените форми, ја составуваме главната матрица со коефициенти, колони со непознати и слободни членови.

Целосен запис на дадениот систем на равенки во форма на матрица:

Проширена SLAE матрица

Ако на матрицата на системот A додадете колона за слободни членови надесно B, одвојувајќи ги податоците со вертикална лента, добивате проширена матрица на SLAE.

За примерот погоре, изгледа вака:

– означување на продолжената матрица.