Во оваа публикација, ќе разгледаме една од класичните теореми на афина геометрија - теоремата Цева, која доби такво име во чест на италијанскиот инженер Џовани Цева. Ќе анализираме и пример за решавање на проблемот со цел да го консолидираме презентираниот материјал.
Изјава на теоремата
Даден триаголник ABC, во која секое теме е поврзано со точка на спротивната страна.
Така, добиваме три сегменти (АА', ББ и CC'), кои се нарекуваат цевијците.
Овие отсечки се сечат во една точка ако и само ако важи следнава еднаквост:
|И'| |НЕ'| |CB'| = |п.н.е.| |SHIFT'| |АБ'|
Теоремата може да се претстави и во оваа форма (се определува во кој однос точките ги делат страните):
Тригонометриска теорема на Цева
Забелешка: сите агли се ориентирани.
Пример за проблем
Даден триаголник ABC со точки ДО', Б' и C' на страните BC, AC и AB, соодветно. Темињата на триаголникот се поврзани со дадените точки, а формираните отсечки минуваат низ една точка. Во исто време, поени ДО' и Б' земени во средните точки на соодветните спротивни страни. Дознајте во кој сооднос е точката C' ја дели страната AB.
Решение
Ајде да нацртаме цртеж според условите на проблемот. За наша погодност, ја прифаќаме следната нотација:
- AB' = B'C = a
- BA' = A'C = b
Останува само да се состави односот на отсечките според теоремата Цева и да се замени прифатената нотација во неа:
По намалувањето на дропките, добиваме:
Оттука, AC' = C'B, односно точка C' ја дели страната AB на половина.
Затоа, во нашиот триаголник, отсечките АА', ББ и CC' се медијани. Откако го решивме проблемот, докажавме дека тие се сечат во една точка (важи за секој триаголник).
Забелешка: користејќи ја теоремата на Цева, може да се докаже дека во триаголник во една точка, симетралите или висините исто така се сечат.